题目内容
5．在△ABC中，P在△ABC的三边上，MN是△ABC外接圆的直径，若AB=2，BC=3，AC=4，则$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的取值范围是2．分析 设△ABC的外接圆的半径为R，圆心为O．利用余弦定理可得cosB，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$．可得2R=$\frac{4}{sinB}$，解得R.$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=$（\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP}）$•$（\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OP}）$=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$•$（\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}）$-${\overrightarrow{OP}}^{2}$=-R2-${\overrightarrow{OP}}^{2}$，即可得出．
解答 解：设△ABC的外接圆的半径为R，圆心为O．
由cosB=$\frac{{2}^{2}+{3}^{2}-{4}^{2}}{2×2×3}$=$-\frac{1}{4}$，∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴2R=$\frac{4}{sinB}$=$\frac{16}{\sqrt{15}}$，解得R=$\frac{8\sqrt{15}}{15}$．
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=$（\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP}）$•$（\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OP}）$=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$•$（\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}）$-${\overrightarrow{OP}}^{2}$=-R2-${\overrightarrow{OP}}^{2}$∈[-2R2，-2R2+4]=$[-\frac{128}{15}，-\frac{68}{15}]$．
故答案为：$[-\frac{128}{15}，-\frac{68}{15}]$．
点评 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
科学实验活动册系列答案| A． | 向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{3}$倍（纵坐标不变） | |
| B． | 向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{3}$倍（纵坐标不变） | |
| C． | 向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的3倍（纵坐标不变） | |
| D． | 向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的3倍（纵坐标不变） |
如图，已知△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，AC∥DF，四边形BCDE为直角梯形，DE∥BC，BC⊥CD，点G为△ABC的重心，N为AB中点，AG⊥平面BCDE，M为线段AF上靠近点F的三等分点．| A． | $\frac{25}{6}$ | B． | $\frac{8}{3}$ | C． | $\frac{11}{3}$ | D． | 4 |