Question

12．已知数列{a_n}是首项为a₁，公差为d的等差数列．
（1）若a₁=-11，d=2，b_n=3^a_n，数列{b_n}的前n项积记为B_n，且B_n0=1，求n₀的值；
（2）若a₁d≠0，且a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²恒成立，求{a_n}的通项公式；
（3）设n、k∈N^*，n≥2，试证组合数满足kC_n^k=nC_n-1^k-1；观察C₂⁰a₁-C₂¹a₂+C₂²a₃=0，C₃⁰a₁-C₃¹a₂+C₃²a₃-C₃³a₄=0，C₄⁰a₁-C₄¹a₂+C₄²a₃-C₄³a₄+C₄⁴a₅=0，…，请写出关于等差数列{a_n}的一般结论，并利用kC_n^k=nC_n-1^k-1证明之．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的通项公式计算B_n，令B_n=1即可求出n的值；
（2）由且a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²得a₁³+a₂³+…+a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+1）²，两式相减即可得出d，令n=1计算a₁，从而求出a_n；
（3）根据组合数计算公式证明kC_n^k=nC_n-1^k-1，根据二项式定理和数学归纳法证明猜想．

解答 解：（1）设{a_n}的前n项和为S_n，则S_n=-11n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²-12n．
∴B_n=b₁b₂b₃…b_n=3${\;}^{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+…+{a}_{n}}$=3${\;}^{{n}^{2}-12n}$，
令3${\;}^{{n}^{2}-12n}$=1得n²-12n=0，
∴n=12．
（2）当n=1时，a₁³=a₁²，∴a₁=1或a₁=0（舍）．
∵a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²，
∴a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²，
两式相减得：a_n+1³=（2a₁+2a₂+…+2a_n+a_n+1）a_n+1，
∴a_n+1²=2a₁+2a₂+…+2a_n+a_n+1，
∴a_n²=2a₁+2a₂+…+2a_n-1+a_n，
两式相减得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n+1+a_n，
∴a_n+1-a_n=1，∴d=1．
∴a_n=n．
（3）kC_n^k=$\frac{kn!}{k!（n-k）!}$=$\frac{n!}{（k-1）!（n-k）!}$=$\frac{n（n-1）!}{（k-1）!（n-k）!}$=n${C}_{n-1}^{k-1}$．
猜想：${C}_{n}^{0}$a₁-${C}_{n}^{1}$a₂+${C}_{n}^{2}$a₃+…+（-1）ⁿ⁺¹${C}_{n}^{n}$a_n+1=0，
证明：当n=2时，${C}_{2}^{0}$a₁-${C}_{2}^{1}$a₂+${C}_{2}^{2}$a₃=a₁-2a₂+a₃，
∵{a_n}是等差数列，∴a₁-2a₂+a₃=0，即n=2时，猜想成立；
假设当n=k时，猜想成立，即${C}_{k}^{0}$a₁-${C}_{k}^{1}$a₂+${C}_{k}^{2}$a₃+…+（-1）^k${C}_{k}^{k}$a_k+1=0，
∴${C}_{k+1}^{0}$a₁-${C}_{k+1}^{1}$a₂+${C}_{k+1}^{2}$a₃+…+（-1）^k+1${C}_{k+1}^{k+1}$a_k+2
=${C}_{k}^{0}$a₁-（${C}_{k}^{0}$+${C}_{k}^{1}$）a₂+（${C}_{k}^{1}$+${C}_{k}^{2}$）a₃+…+（-1）^k+1${C}_{k}^{k}$a_k+2
=${C}_{k}^{0}$a₁-${C}_{k}^{1}$a₂+${C}_{k}^{2}$a₃+…+（-1）^k${C}_{k}^{k}$a_k+1-${C}_{k}^{0}$a₂+${C}_{k}^{1}$a₃+…+（-1）^k+1${C}_{k}^{k}$a_k+2
=-${C}_{k}^{0}$a₂+${C}_{k}^{1}$a₃+…+（-1）^k+1${C}_{k}^{k}$a_k+2
=-C_k⁰（a₁+d）+${C}_{k}^{1}$（a₂+d）+…+（-1）^k+1${C}_{k}^{k}$（a_k+1+d）
=-[${C}_{k}^{0}$a₁-${C}_{k}^{1}$a₂+${C}_{k}^{2}$a₃+…+（-1）^k+1${C}_{k}^{k}$a_k+1]+d（-${C}_{k}^{0}$+${C}_{k}^{1}$+…+（-1）^k+1${C}_{k}^{k}$）．
=-d（${C}_{k}^{0}$-${C}_{k}^{1}$+…+（-1）^k${C}_{k}^{k}$）．
∵（1-1）^k=${C}_{k}^{0}$-${C}_{k}^{1}$+…+（-1）^k${C}_{k}^{k}$=0，
∴-d（${C}_{k}^{0}$-${C}_{k}^{1}$+…+（-1）^k${C}_{k}^{k}$）=0，
∴当n=k+1时，猜想成立．
∴${C}_{k}^{0}$a₁-${C}_{k}^{1}$a₂+${C}_{k}^{2}$a₃+…+（-1）^k${C}_{k}^{k}$a_k+1=0．

点评 本题考查了数学归纳法，二项式定理，属于中档题．