题目内容
9．某牙膏厂生产的牙膏的年销售量（即该厂的年产量）x万支与年广告费用a万元（a≥0）满足$x=3-\frac{k}{a+1}$（k为常数），如果不进行广告宣传，则该牙膏的年销售量是1万支．已知2014年生产该牙膏的固定投入为8万元，每生产1万支该产品需要再投入16万元，厂家将每支牙膏的销售价格定为每支牙膏平均成本的$\frac{3}{2}$倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括广告费用）．（1）将2014年该产品的利润y万元表示为年广告费用a万元的函数；
（产品的利润=销售收入-产品成本-广告费用）
（2）该厂家2014年的广告费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大值是多少？
分析 （1）由题意可知当a=0时，x=1（万件），可得1=3-k，解得k．即可得出$x=3-\frac{2}{a+1}$．每件产品的销售价格为$15•\frac{8+16x}{x}$（元）．可得2014年的利润y=x$（\frac{3}{2}•\frac{8+16x}{x}）$-（8+16x+a）=-$[\frac{16}{a+1}+（a+1）]+29$（a≥0）．
（2）方法一：利用基本不等式的性质即可得出．
方法二：利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．
解答 解：（1）由题意可知当a=0时，x=1（万件）
∴1=3-k，即k=2．
所以$x=3-\frac{2}{a+1}$．每件产品的销售价格为$15•\frac{8+16x}{x}$（元）
∴2014年的利润y=x$（\frac{3}{2}•\frac{8+16x}{x}）$-（8+16x+a）=4+8x-a=4+8$（3-\frac{2}{a+1}）$-a
=-$[\frac{16}{a+1}+（a+1）]+29$（a≥0）．
（2）方法一：∵$a≥0，\frac{16}{a+1}+（{a+1}）≥2\sqrt{16}=8$，
∴y≤-8+29=21．当且仅当$\frac{16}{a+1}=（{a+1}）⇒a=3$（万元）时，ymax=21（万元）
所以当广告费用为3万元时，利润最大，最大值是21万元．
方法二：求导：$y=x（{\frac{3}{2}×\frac{8+16x}{x}}）-（{8+16x+a}）$=4+8x-a
=$4+8（{3-\frac{2}{a+1}}）$-a=$（{-\frac{16}{a+1}}）$-a+28，y'=$\frac{16}{{{{（a+1）}^2}}}$-1，
令y'=0，求得a=3，代入原函数，最大为21万元．
点评 本题考查了函数的性质及其应用、基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | bf（lna）＜af（lnb） | B． | bf（lna）=af（lnb） | ||
| C． | bf（lna）＞af（lnb） | D． | bf（lna）与af（lnb）的大小不确定 |
| 年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
| 年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
可用公式：$\widehat{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n（\overline x{）^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x{）^2}}}}$，$\widehat{a}$=$\overline y$-$\widehat{b}$$\overline x$．
如图，已知平面α，β，且α∩β=AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．| A． | $（{-\frac{1}{4}，0}）$ | B． | $（{-\frac{1}{4}，0}]$ | C． | $[{-\frac{1}{2}，1}]$ | D． | $[{-\frac{1}{2}，1}）$ |