Question

1．已知a，b是实数，函数f（x）=x|x-a|+b．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；
（3）若存在a∈[-3，0]，使得函数f（x）在[-4，5]上恒有三个零点，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，作出函数f（x）的表达式，利用数形结合即可求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，先求出f（1）=f（2），然后利用数形结合即可函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；
（3）利用参数分离法将条件进行转化，利用数形结合即可求b的取值范围．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=x|x-2|+b=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+b，}&{x≥2}\\{-{x}^{2}+2x+b，}&{x＜2}\end{array}\right.$，
由二次函数的单调性知，
f（x）在（-∞，1]上单调递增，在（1，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增．
（2）设g（x）=x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax=（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥a}\\{ax-{x}^{2}=-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜a}\end{array}\right.$，
由于a＞0且1≤x≤2，结合函数f（x）的图象可知，
若f（1）=f（2），
即g（1）=g（2），
则|1-a|=2|2-a|，
平方得1-2a+a²=16-16a+4a²，
即3a²-14a+15=0，
得a=3或a=$\frac{5}{3}$，
当0＜a≤$\frac{5}{3}$时，g（2）≥g（1），此时g（2）最大，即f（2）最大，最大值为f（2）=2|2-a|+b=4-2a+b，
若$\frac{5}{3}$＜a＜3时，g（2）＜g（1），此时g（1）最大，
即f（1）最大，最大值为f（1）=|1-a|+b=1-a+b，
若a≥3时，g（2）＞g（1），此时g（2）最大，
即f（2）最大，最大值为f（2）=2|2-a|+b=2a-4+b，
（3）若存在a∈[-3，0]，使得函数f（x）在[-4，5]上恒有三个零点，
则存在a∈[-3，0]，使得b=-x|x-a|有三个不同的实根；
令g（x）=-x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+ax，}&{x≥a}\\{{x}^{2}-ax，}&{x＜a}\end{array}\right.$，
（ⅰ）当a=0时，g（x）在[-4，5]上单调递减，故b无解；
（ⅱ）当-3≤a＜0时，g（x）在（-∞，a）上单调递减，在[a，$\frac{a}{2}$]上单调递增，在（$\frac{a}{2}$，+∞）上单调递减，
∵g（-4）=4|4+a|=16+4a，g（a）=0，g（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，g（5）=5a-25，
∴g（-4）-g（$\frac{a}{2}$）=$\frac{-（a-8）^{2}+128}{4}$＞0，g（a）-g（5）=25-5a＞0，
∴0＜b＜$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴0＜b＜$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了分段函数的应用及二次函数的单调性的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，综合性较强，难度较大．