Question

6．已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2．
（1）求A₁到平面AB₁D距离；
（2）求D到平面A₁BD₁距离．

Answer 1

分析 （1）根据V${\;}_{{A}_{1}-A{B}_{1}D}$=V${\;}_{D-{A}_{1}A{B}_{1}}$列方程求出；
（2）根据V${\;}_{B-{A}_{1}{D}_{1}D}$=V${\;}_{D-{A}_{1}B{D}_{1}}$列方程求出．

解答 解：（1）∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，
∴AB₁=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
∴S${\;}_{△A{B}_{1}D}$=$\frac{1}{2}×AD×A{B}_{1}$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
V${\;}_{{A}_{1}-A{B}_{1}D}$=V${\;}_{D-{A}_{1}A{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}A{B}_{1}}•AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×1$=$\frac{1}{3}$，
设A₁到平面AB₁D距离为h，则V${\;}_{{A}_{1}-A{B}_{1}D}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△A{B}_{1}D}$•h，
即$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{5}}{2}×h$，
∴h=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴A₁到平面AB₁D距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（2）设D到平面A₁BD₁距离为h₂，
∵V${\;}_{B-{A}_{1}{D}_{1}D}$=V${\;}_{D-{A}_{1}B{D}_{1}}$，即$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{D}_{1}D}•AB$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}B{D}_{1}}•{h}_{2}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×1$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{5}$×h₂，
∴h₂=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴D到平面A₁BD₁距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了点面距离的计算，可用等积法、向量法、或定义法求出，属于中档题．