Question

15．如图，在△ABC中，D为线段AB上的点，且AB=3AD，AC=AD，CB=3CD，则$\frac{sin2B}{sinA}$=$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 设AC=x，CD=y，则AB=3x，BC=3y；
利用余弦定理求出x²、y²的关系，再用二倍角化简$\frac{sin2B}{sinA}$，
利用正弦、余弦定理即可求出结果．

解答 解：设AC=x，CD=y，则AB=3x，BC=3y；

∴cosA=$\frac{{x}^{2}{+x}^{2}{-y}^{2}}{2•x•x}$=$\frac{{9x}^{2}{+x}^{2}-{9y}^{2}}{2•3x•x}$，
化简得x²=$\frac{3}{2}$y²；
∴$\frac{sin2B}{sinA}$=$\frac{2sinBcosB}{sinA}$
=2•$\frac{x}{3y}$•$\frac{{9x}^{2}+{9y}^{2}{-x}^{2}}{2•3x•3y}$
=$\frac{{8x}^{2}+{9y}^{2}}{2{7y}^{2}}$
=$\frac{8}{27}$•$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{3}$
=$\frac{7}{9}$．
故答案为：$\frac{7}{9}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理的灵活应用问题，是综合题．