Question

8．已知θ∈（${\frac{π}{2}$，π），$\frac{1}{sinθ}$+$\frac{1}{cosθ}$=2$\sqrt{2}$，则cos（2θ+$\frac{π}{3}}$）的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 先利用同角三角函数的基本关系求得2θ的范围以及sin2θ的值，可得2θ的值，从而求得cos2θ的值，再利用两角差的余弦公式求得cos（2θ+$\frac{π}{3}}$）的值．

解答 解：∵$θ∈（{\frac{π}{2}，π}），\frac{1}{sinθ}+\frac{1}{cosθ}=2\sqrt{2}$，∴sinθ＞0，cosθ＜0，
∴$\frac{sinθ+cosθ}{sinθ•cosθ}$=2$\sqrt{2}$，即sinθ+cosθ=2$\sqrt{2}$sinθcosθ＜0，∴θ∈（$\frac{3π}{4}$，π），2θ∈（$\frac{3π}{2}$，2π）．
再根据sinθ+cosθ=-$\sqrt{{（sinθ+cosθ）}^{2}}$=-$\sqrt{1+2sinθcosθ}$，
∴2$\sqrt{2}$sinθcosθ=-$\sqrt{1+2sinθcosθ}$，∴sinθcosθ=$\frac{1}{2}$ （舍去），或sinθcosθ=-$\frac{1}{4}$，
即sin2θ=-$\frac{1}{2}$，∴2θ=$\frac{11π}{6}$，∴cos2θ=$\sqrt{{1-sin}^{2}2θ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
则$cos（{2θ+\frac{π}{3}}）$=cos2θcos$\frac{π}{3}$-sin2θsin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$-（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．