Question

观察如图所示5个等式：照图中式子规律：
（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N^*）
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N^*）

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）通过前5个表达式，直接写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N^*）
（2）用数学归纳法证明步骤，直接证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N^*）

解答： 解：（1）第6个等式为-1+3-5+7-9+11=6 
…（2分）
猜想：第n 个等式为-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ•（2n-1）=（-1）ⁿ•n …（4分）
（2）下面用数学归纳法给予证明：-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ•（2n-1）=（-1）ⁿ•n 
①当n=1时，由已知得原式成立； …（5分）
②假设当n=k时，原式成立，
即-1+3-5+7-9+…+（-1）^k•（2k-1）=（-1）^k•k 
…（6分）
那么，当n=k+1时，-1+3-5+7-9+…+（-1）^k•（2k-1）+（-1）^k+1•（2k+1）
=（-1）^k•k+（-1）^k+1•（2k+1）=（-1）^k+1•（-k+2k+1）=（-1）^k+1•（k+1）
故n=k+1时，原式也成立 …（11分）
由①②知，-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ•（2n-1）=（-1）ⁿ•n 
成立…（13分）

点评：本题考查数学归纳法证明猜想成立，注意证明步骤的应用，缺一不可．