Question

设f（x）=-

1

3

x³+

1

2

ax²+2a²x（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在（

2

3

，+∞）上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+

1

2

（1-a）x²+2a（1-a）x，若0＜a＜2，g（x）在[1，4]上的最小值为-

16

3

，求g（x）在该区间上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知条件得f′（x）=-（x-2a）（x+a），由f′（x）≥0，得（x-2a）（x+a）≤0，由此结合已知条件能求出a的取值范围．
（Ⅱ）由已知条件得g（x）=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax，g′（x）=-(x-

1+ 1+8a

2

)(x-

1- 1+8a

2

)，由此结合已知条件能求出g（x）在区间[1，4]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=-

1

3

x³+

1

2

ax²+2a²x（a∈R），
∴f′（x）=-x²+ax+2a²
=-（x-2a）（x+a），
由f′（x）≥0，得（x-2a）（x+a）≤0，
①当a=0时，有x²≤0，得x=0，不合题意；
②当a＞0时，有-a＜x＜2a，
∵f（x）在（

2

3

，+∞）上存在递增区间，
∴2a＞

2

3

，即a＞

1

3

；
③当a＜0时，有2a＜x＜-a，
∵f（x）在（

2

3

，+∞）上存在递增区间，
∴-a＞

2

3

，即a＜-

2

3

．
综上，a的取值范围为（-∞，-

2

3

）∪（

1

3

，+∞）．
（Ⅱ）由已知g（x）=f（x）+

1

2

（1-a）x²+2a（1-a）x
=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax，
∴g′（x）=-x²+x+2a=-(x-

1+ 1+8a

2

)(x-

1- 1+8a

2

)，
∵0＜a＜2，∴

1- 1+8a

2

＜0，
且t＜

1+ 1+8a

2

＜

1+ 1+16

2

＜4，
由g′（x）＞0，得

1- 1+8a

2

＜x＜

1+ 1+8a

2

，
∴g（x）在[1，

1+ 1+8a

2

]上递增，在[

1+ 1+8a

2

，4]上递减，
∴g(x)max=g(

1+ 1+8a

2

)，
又∵0＜a＜2，
∴g（4）-g（1）=（-

64

3

+8+8a）-（-

1

3

+

1

2

+2a）=6a-

27

2

＜0，
∴g（4）＜g（1），
∴在[1，4]上，函数g(x)min=g(4)=-

64

3

+8+8a=-

16

3

，
解得a=1，此时g（x）=-

1

3

x3+

1

2

x2+2x，
在[1，4]上，g(x)max=g(

1+ 1+8a

2

)=g(2)=-

8

3

+2+4=

10

3

．

点评：本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查函数在闭区间上的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．