Question

【题目】如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA=1，AD=2．

（1）求平面BPC的法向量；
（2）求二面角B﹣PC﹣A的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴PA⊥BD．

∵PC⊥平面BDE，BD平面BDE，∴PC⊥BD．

又PA∩PC=P，∴BD⊥平面PAC，AC平面PAC，

∴BD⊥AC．

又底面ABCD为矩形，∴ABCD为正方形．

建立如图所示的空间直角坐标系．

A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，1），

D（0，2，0）．

=（0，2，0）， =（﹣2，0，1），

设平面BPC的法向量为 =（x，y，z），

∴ ，∴ ，取 =（1，0，2）．

∴平面BPC的一个法向量为 =（1，0，2）．

（2）平面PAC的法向量为： =（﹣2，2，0）．

设二面角B﹣PC﹣A=θ，由图可知：θ为锐角．

则cos = = =﹣ ．

∴cosθ= ．

∴sinθ= ．

∴tanθ= =3．即二面角B﹣PC﹣A的正切值为3．

【解析】（1）先利用线面垂直的判定定理可证BD⊥平面PAC，进而可证BD⊥AC，从而可证ABCD为正方形，再建立空间直角坐标系，设平面BPC的法向量，利用平面向量的数量积等于0可得平面BPC的一个法向量；（2）先计算平面PAC的法向量，再设二面角B﹣PC﹣A=θ，可得cosθ，进而利用同角三角函数的基本关系可得tanθ，即二面角B﹣PC﹣A的正切值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面的法向量的相关知识，掌握若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量．