Question

15．设集合$A=\left\{{（x，y）\left|{\left\{\begin{array}{l}x-y-1≤0\\ 3x-y+1≥0，x，y∈R\\ 3x+y-1≤0\end{array}\right.}\right.}\right\}$，则A表示的平面区域的面积是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 画出不等式组表示的平面区域，求出三角形的顶点坐标，结合图形计算三角形的面积．

解答 解：画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≤0}\\{3x-y+1≥0}\\{3x+y-1≤0}\end{array}\right.$所表示的平面区域如图所示，

联立$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-1=0}\\{3x-y+1=0}\end{array}\right.$，
得A（0，1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{3x-y+1=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$，
得B（-1，-2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-1=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$，
得C（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）；
∴又直线x-y-1=0交y轴于点D（0，-1）
∴不等式组表示的平面区域面积为
S=S_△ABD+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×|AD|×x_B+$\frac{1}{2}$×|AD|×x_C=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了不等式组表示平面区域以及三角形的面积公式与应用问题，是中档题．