Question

12．已知数列{a_n}满足：${a_1}=2\;，\;{a_{n+1}}=1-\frac{1}{a_n}$，设数列{a_n}的前_n项和为S_n，则S₂₀₁₇=（　　）

• A． 1007
• B． 1008
• C． 1009.5
• D． 1010

Answer 1

分析 根据题意，求得数列{a_n}是以3为周期的数列，且S₃=2+$\frac{1}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，从而求得S₂₀₁₇的值

解答 解：∵a₁=2，a_n+1=1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴a₂=1-$\frac{1}{{a}_{1}}$=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
a₃=1-2=-1，
a₄=1+1=2，
…
∴数列{a_n}是以3为周期的数列，
∵S₃=2+$\frac{1}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
2017=3×672+1，
∴S₂₀₁₇=672×$\frac{3}{2}$+1=1010，
故选：D．

点评 本题考查了数列周期性和数列的前n项和，考查了学生的运算能力和归纳能力，属于中档题