Question

在菱形ABCD中，AC=2，BD=4，AC与BD交于0，将△ABC）沿着AC折起，使D点至点D′，且D′点到平面ABC距离为

3

，如图所示．
（1）求证AC丄BD；
（2）E是BO的中点，过C作平面ABC的垂线l，直线l上是否存在一点F，使EF∥平面AD′C？若存在，求出CF的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的性质,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面垂直的性质定理证明AC⊥平面BOD′即可证明AC丄BD；
（2）根据线面平行的判定定理进行判断即可．

解答： 解：（1）设AC∩BD=0，
则菱形ABCD，AC⊥BD，
∴AC⊥OD′，AC⊥OB，
∵OD′∩OB=O，OD′?平面BOD′，OB?面BOD′，
∴AC⊥平面BOD′，
∴AC丄BD；
（2）过D′作D'H⊥DO，于H，连接CH，AH，AE，CE，
由（1）得平面BOD'⊥平面ABC，
故HD'⊥平面ABC，
故D'H=

3

，
∴OH=

OD′2-D′H2

=1=OE，
∴四边形AECH为平行四边形，
∴CH∥AE，CH=AE，
∴CH∥AE，CH=AE，
在l上截取CF=

3

，
∵HD'⊥平面ABC，CF⊥平面ABC，
∴CF∥DH，
又CF=DH=

3

，
∴四边形CFD'H为平行四边形，
∴CH∥D'F，CH=D'F，而CH∥AE，CH=AE，
∴AE∥D'F，D'F=AE，
∴四边形D'AEF为平行四边形，
∴AD'∥EF，
∵EF?平面AD'C，AD'?平面ADC，
∴EF∥平面AD'C，
故存在F，使EF∥平面AD′C，此时CF=

3

．

点评：本题主要考查空间直线和平面垂直和平行的判定，要求熟练掌握相应的判定定理，考查学生的推理能力．