Question

已知函数f（x）=4sinωxsin²（

ωx

2

+

π

4

）+cos2ωx，其中ω＞0．
（1）当ω=1时，求函数f（x）的最小正周期；
（2）若函数f（x）在区间[-

π

2

，

2π

3

]是增函数，
（3）求ω的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换求出正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．
（Ⅱ）利用第一步的结果，进一步利用所给的定义域与单调区间的子集的关系从而确定ω的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题可知：f（x）=4sinωx

1-cos(ωx+ π 2 )

2

+cos2ωx=2sinωx+1，
当ω=1时，f（x）=2sinx+1，则T=2π
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=2sinωx+1，欲使f（x）在[-

π

2

，

2π

3

]上单调递增，
则有[-

π

2

，

2π

3

]⊆[-

2π

4ω

，

2π

4ω

]，
∴-

π

2

≥-

2π

4ω

，

2π

3

≤

2π

4ω

，
∴0＜ω≤

3

4

，于是ω∈（0，

3

4

]．

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数最小正周期的应用，利用函数的单调区间求ω得取值范围．属于基础题型．