Question

设a₁，a₂，a₃∈R⁺，且a₁+a₂+a₃=m．求证：
（1）a₁²+a₂²+a₃²≥

m2

3

；      
（2）

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

≥

9

m

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（1）（a₁+a₂+a₃）²=a₁²+a₂²+a₃²+2a₁a₂+2a₂a₃+2a₁a₃≤3（a₁²+a₂²+a₃²），即可得出结论；
（2）根据基本不等式的性质可分别求得a₁+a₂+a₃和

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

的最小值，两式相乘即可求得（

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

）m的最小值，整理后原式得证．

解答： 证明：（1）（a₁+a₂+a₃）²=a₁²+a₂²+a₃²+2a₁a₂+2a₂a₃+2a₁a₃≤3（a₁²+a₂²+a₃²），
∵a₁+a₂+a₃=m，
∴a₁²+a₂²+a₃²≥

m2

3

；      
（2）∵（

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

）m=（

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

）（a₁+a₂+a₃）≥3

3	a1a2a3

•3

3	1 a1 • 1 a2 • 1 a3

，
当且仅当a₁=a₂=a₃=

m

3

时等号成立．
又∵m=a₁+a₂+a₃＞0，
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

≥

9

m

．

点评：本题主要考查了基本不等式的应用．解题的时候要特别注意等号成立的条件．