Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n-2a_n+1+a_n+2=0（n∈N^*），且a₁，a₂，a₅成公比不等于1的等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

a2n-1+1

，数列{b_n}的前n项和为S_n，求满足S_n＞

510

511

的最小正整数n的值．

Answer 1

考点：等差数列的通项公式,等差关系的确定,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得{a_n}成等差数列，设公差为d，则（1+d）²=1+4d，由此能求出a_n=2n-1．
（Ⅱ）由已知条件推导出bn=

1

2n

，从而得到Sn=1-

1

2n

，由此能求出满足S_n＞

510

511

的最小正整数n的值．

解答： 满分（14分）．
解：（Ⅰ）∵2a_n+1=a_n+a_n+2，
∴{a_n}成等差数列，
设公差为d，则（1+d）²=1+4d，解得d=2（d=0舍去）
∴a_n=2n-1．（7分）
（Ⅱ）∵a_n=2n-1，
∴bn=

1

a2n-1+1

=

1

2•2n-1+1-1

=

1

2n

，（9分）
∴Sn=1-

1

2n

，（11分）
∴Sn＞

510

511

=1-

1

511

，
即2ⁿ＞511（n∈N^*），
∴n_min=9，
∴满足S_n＞

510

511

的最小正整数n的值是9．（14分）

点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列的通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力．