Question

在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且

sinA

a

=

3 cosB

b

．
（1）求角B的大小；
（2）如果b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，求出tanB的值，即可确定出B的度数；
（2）利用余弦定理表示出cosB，将b与cosB的值代入，整理得到关系式，利用基本不等式化简求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答： 解：（1）已知等式

sinA

a

=

3 cosB

b

，由正弦定理得

sinA

sinA

=

3 cosB

sinB

，即tanB=

3

，
∴B=

π

3

；
（2）∵b=2，cosB=

1

2

，
∴cosB=

a2+b2-4

2ac

=

1

2

，
∴a²+c²=ac+4，
又∴a²+c²≥2ac，
∴ac≤4，当且仅当a=c取等号，
∴S=

1

2

acsinB≤

3

，
则△ABC为正三角形时，S_max=

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．