Question

8．若曲线C₁：x²+y²-2x=0与曲线C₂：mx²-xy+mx=0有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• B． （-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）
• C． （-∞，0）∪（0，+∞）
• D． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）

Answer 1

分析 根据题意，分析可得曲线C₂表示两条直线：x=0，y=m（x+1），曲线C₁为圆心（1，0），半径为1的圆；分m=0与m≠0两种情况，结合直线与圆的位置关系进行讨论，求出m的取值范围，综合即可得答案．

解答 解：根据题意，曲线C₂：mx²-xy+mx=0，即x（mx-y+m）=0，
则曲线C₂表示两条直线：x=0，y=m（x+1），
曲线C₁：x²+y²-2x=0，即（x-1）²+y²=1，为圆心（1，0），半径为1的圆；
当m=0时，曲线C₂表示两条直线：x=0与y=0，与曲线C₁：只有2个交点，不符合题意，
当m≠0时，
直线x=0与曲线C₁只有一个交点，
则直线y=m（x+1）与曲线C₁：x²+y²-2x=0有2个交点，即直线y=m（x+1）与圆（x-1）²+y²=1相交，
则有$\frac{|2m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$＜1，
解可得：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜m＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且m≠0；
综合可得：m的取值范围是（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
故选：D．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，注意分析曲线C₂：mx²-xy+mx=0的形式．