Question

16．已知函数f（x）=2x²+ax-b（a，b∈R）的两个零点分别在区间$（\frac{1}{2}，1）$和（1，2）内，则z=a+b的最大值为（　　）

• A． 0
• B． -4
• C． $-\frac{14}{3}$
• D． -6

Answer 1

分析 由两个零点分别在区间$（\frac{1}{2}，1）$和（1，2）内，根据零点存在定理，易得：f（$\frac{1}{2}$）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，由此我们易构造一个平面区域，利用线性规划知识即可求出答案．

解答 解：∵函数f（x）=2x²+ax-b（a，b∈R）的两个零点分别在区间$（\frac{1}{2}，1）$和（1，2）内，
∴f（$\frac{1}{2}$）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}a-b＞0}\\{2+a-b＜0}\\{8+2a-b＞0}\end{array}\right.$，
平面区域如图所示，三个交点坐标分别为A（-3，-1），
C（-6，-4），B（-5，-2），
∴z=a+b在A（-3，-1）处取得最大值-4，
故选：B．

点评 本题考查的知识点是函数零点的求法及零点存在定理，线性规划的应用，其中连续函数在区间（a，b）满足f（a）•f（b）＜0，则函数在区间（a，b）有零点，是判断函数零点存在最常用的方法．