Question

5．某生产旅游纪念品的工厂，拟在2017年度进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x（单位：万件）与年促销费用t（单位：万元）之间满足3-x与t+1成反比例（若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件）；已知工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润=收入-生产成本-促销费用）；
（1）请把该工厂2017年的年利润y（单位：万元）表示成促销费t（单位：万元）的函数；
（2）试问：当2017的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？

Answer 1

分析 （1）根据3-x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，可求出k的值；进而通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数；
（2）利用基本不等式求出最值，即可得结论．

解答 解：（1）设反比例系数为k（k≠0），有$3-x=\frac{k}{t+1}$
因为当t=0时x=1，代入得k=2，所以$x=3-\frac{2}{t+1}（{t≥0}）$；
易得：$y=x•（{\frac{3+32x}{x}•1.5+\frac{t}{2x}}）-（{3+32x}）-t$，
化简得：$y=\frac{99}{2}-\frac{32}{t+1}-\frac{t}{2}（{t≥0}）$；
（2）$y=50-（{\frac{32}{t+1}+\frac{t+1}{2}}）≤50-2\sqrt{\frac{32}{t+1}•\frac{t+1}{2}}=42$，当且仅当t=7时取等号；
所以，当2017年的促销费投入7万元时，工厂的年利润最大为42万元．

点评 本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．