Question

如图，已知抛物线M的参数方程为

x=2s y=2s2

（其中s为参数），AB为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦，点P在线段AB上．倾斜角为

3

4

π的直线l经过点P与抛物线交于C，D两点．
（1）请问

|PC|•|PD|

|PA|•|PB|

是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（2）若△APD和△BPC的面积相等，求点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）消参求出焦点坐标，进而确定A、B的坐标，设出直线的参数方程，联立利用韦达定理简化运算，
（2）由△APD和△BPC的面积相等，通过面积相等得到方程，解方程．

解答： 解：（1）消去参数s，得抛物线的方程为x²=2y，
∴F(0，

1

2

)，
把y=

1

2

代入抛物线方程得A(-1，

1

2

)，B(1，

1

2

)，
于是设点P(x0，

1

2

)（-1＜x₀＜1），
∵直线l的倾斜角为

3

4

π，
∴它的参数方程为

x=x0- 2 2 t y= 1 2 + 2 2 t

（其中t为参数），
代入抛物线方程得：(x0-

2

2

t)2=2(

1

2

+

2

2

t)，
即t2-2

2

(x0+1)t+(2x02-2)=0，
设C，D对应的参数为t_C，t_D；
∴

tC+tD=2 2 (x0+1) tC•tD=2x02-2

（*），
∴

|PC|•|PD|

|PA|•|PB|

=

|tC•tD|

(x0+1)(1-x0)

=

2-2x02

1-x02

=2．
（2）∵△APD和△BPC的面积相等，
∴

1

2

|AP|•|PD|•sin∠APD=

1

2

|BP|•|PC|•sin∠BPC，
∴|AP|•|PD|=|BP|•|PC|，
又∵|AP|=x₀-（-1）=x₀+1，|BP|=1-x₀，
∴|PC|=

x0+1

1-x0

|PD|，
∴tC=-

x0+1

1-x0

tD，
将其代入（*）式得

tD= 2 (x02-1) x0       (1) tD2=2(x0-1)2       (2)

（1）²÷（2）得：

2(x02-1)2

x02

=2(x0-1)2，
∴(x0+1)2=x02，
∴x0=-

1

2

，
即点P的横坐标为-

1

2

，
∴点P的坐标为(-

1

2

，

1

2

)．

点评：本题考查了抛物线的方程及参数方程的应用，化简是个难点，注意要细致，属于难题．