Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，O为坐标原点，点P是椭圆上的一点，点M为PF₁的中点，|OF₁|=2|OM|，且OM⊥PF₁，则该椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件利用椭圆定义推导出

3

c +c=2a，由此能求出椭圆的离心率．

解答： 解：如图，∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点
分别是F₁、F₂，O为坐标原点，
点P是椭圆上的一点，点M为PF₁的中点，
|OF₁|=2|OM|，且OM⊥PF₁，
∴PF₁⊥PF₂，|PF₂|=c，∠PF₁F₂=30°，|F₁F₂|=2c，
∴|PF₁|=

3

c，
由椭圆定义知

3

c +c=2a，∴a=

3 +1

2

c，
∴e=

c

a

=

c

3 +1 2 c

=

3

-1．
故答案为：

3

-1．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．