Question

已知函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin²x-cos²x+

2

．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若存在t∈[

π

12

，

π

3

]满足[f（t）]²-2

2

f（t）-m＞0，求实数m的取值范围；
（3）对任意的x₁∈[-

π

6

，

π

3

]，是否存在唯一的x₂∈[-

π

6

，

π

3

]，使f（x₁）•f（x₂）=1成立，请说明理由．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．
（2）利用三角函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数的取值范围．
（3）利用函数的单调性求出函数的值域，进一步说明函数的单调性问题．

解答： 解：（1）f(x)=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x-cos2x+

2

=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x+

2

=sin(2x-

π

6

)+

2

，
函数f（x）的最小正周期T=π，
（2）当t∈[

π

12

，

π

3

]时，
2t-

π

6

∈[0，

π

2

]，
⇒F(t)=[f(t)]2-2

2

f(t)=[f(t)-

2

]2-2∈[-2，-1]，
存在t∈[

π

12

，

π

3

]，
满足F（t）-m＞0的实数m的取值范围为（-∞，-1）．
（3）存在唯一的x2∈[-

π

6

，

π

3

]，使f（x₁）•f（x₂）=1成立．
当x1∈[-

π

6

，

π

3

]时，2x1-

π

6

∈[-

π

2

，

π

2

]，f(x1)=sin(2x1-

π

6

)+

2

∈[

2

-1，

2

+1]f(x2)=

1

f(x1)

=sin(2x2-

π

6

)+

2

∈[

2

-1，

2

+1]⇒sin(2x2-

π

6

)=

1

f(x1)

-

2

∈[-1，1]，
设

1

f(x1)

-

2

=a，则a∈[-1，1]，由sin(2x2-

π

6

)=a，
得2x2-

π

6

=2kπ+arcsina或2x2-

π

6

=2kπ+π-arcsina，k∈Z．
所以x₂的集合为{x2|x2=kπ+

1

2

•arcsina+

π

12

或x2=kπ-

1

2

•arcsina+

7π

12

，k∈Z}，
∵-

π

6

≤

1

2

•arcsina+

π

12

≤

π

3

，

π

3

≤-

1

2

•arcsina+

7π

12

≤

5π

6

，
∴x₂在[-

π

6

，

π

3

]上存在唯一的值x2=

1

2

•arcsina+

π

12

使f（x₁）•f（x₂）=1成立．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用正弦型函数的定义域求函数的值域，函数的存在性问题的应用．