Question

已知函数f（x）=lnx-ax²-x（a∈R）
（1）当a=1时，求函数f（x）在（1，-2）处的切线方程；
（2）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）问当a＞0时，函数y=f（x）的图象上是否存在点P（x₀，f（x₀）），使得以P点为切点的切线l将y=f（x）的图象分割成C₁，C₂两部分，且C₁，C₂分别位于l的两侧（仅点P除外）？若存在，求出x₀的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）求出函数的导数，对a讨论，分a=0，a＜0，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意讨论判别式的符号；
（3）求出导数和切线的斜率，以及切线方程，令g（x）=f（x）-f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀），求出导数，求出a＞0，g（x）的单调性，即可判断这样的点P是否存在．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=lnx-x²-x，f′（x）=

1

x

-2x-1，
函数f（x）在（1，-2）处的切线斜率为k=1-2-1=-2，
则函数f（x）在（1，-2）处的切线方程为y+2=-2（x-1），
即为y=-2x；
（2）f′（x）=

1

x

-2ax-1=

-2ax2-x+1

x

（x＞0），
①当a=0时，f′（x）=

1-x

x

，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
②当a＜0时，f′（x）=0，即-2ax²-x+1=0，
当△=1+8a≤0时，即a≤-

1

8

，-2ax²-x+1≥0在（0，+∞）恒成立，即
f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）递增；
当△=1+8a＞0，即-

1

8

＜a＜0时，-2ax²-x+1=0的两根为x₁=

-1+ 1+8a

4a

x₂=

-1- 1+8a

4a

，
f′（x）=

-2a(x-x1)(x-x2)

x

（x＞0）且x₁＞0，x₂＞0，x₁＜x₂，
则0＜x＜x₁，f′（x）＞0，f（x）递增，x₁＜x＜x₂，f′（x）＜0，f（x）递减．
综上可得，a=0，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
a≤-

1

8

时，f（x）的增区间为（0，+∞）；
-

1

8

＜a＜0时，f（x）的增区间为（0，

-1+ 1+8a

4a

），（

-1- 1+8a

4a

，+∞），
f（x）的减区间为（

-1+ 1+8a

4a

，

-1- 1+8a

4a

）．
（3）f′（x）=

1

x

-2ax-1，P（x₀，f（x₀）），
在P点的切线方程为y=f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀），
令g（x）=f（x）-f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀），且g（x₀）=0，
g′（x）=f′（x）-f′（x₀）=

1

x

-2ax-1-

1

x0

+2ax₀+1=-（x-x₀）•

1+2axx0

xx0

（x＞0），
由a＞0，当0＜x＜x₀，f′（x）＞0，g（x）递增，
当x＞x₀，f′（x）＜0，g（x）递减，
故g（x）≤g（x₀）=0，即f（x）≤f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀），
也就是y=f（x）的图象永远在切线的下方．
故不存在这样的点P．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，同时考查分类讨论的思想方法，构造函数是解题的关键．