Question

已知函数f（x）=

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x³-ax²+x+1在（-∞，0）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的单调性与导数的关系

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：根据函数f（x）在（-∞，0）上是单调增函数，得出x∈（-∞，0）时，f′（x）≥0，由此列出不等式求出a的取值范围．

解答： 解：∵函数f（x）=

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x³-ax²+x+1，
∴f′（x）=x²-2ax+1；
又∵f（x）在（-∞，0）上是单调增函数，
∴x∈（-∞，0）时，f′（x）≥0，
即x∈（-∞，0）时，x²-2ax+1≥0；
∴2ax≤x²+1，
∴2a≥x+

1

x

；
又∵x∈（-∞，0），
∴-x∈（0，+∞）；
∴-x-

1

x

≥2，当且仅当x=-1时“=”成立；
∴x+

1

x

≤-2，
即2a≥-2，∴a≥-1；
即实数a的取值范围是[-1，+∞）．

点评：本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．