Question

14．△ABC的顶点A（5，0），B（-5，0），△ABC的周长为22，则顶点C的轨迹方程是（　　）

• A． $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{11}=1$
• B． $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{11}=1$
• C． $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{11}=1（{y≠0}）$
• D． $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1（{y≠0}）$

Answer 1

分析 首先根据△ABC的周长是22，且A（5，0），B（-5，0），进一步确定|AC|+|BC|=26＞|AB|，判断顶点C的轨迹是以A（0，-5），B（0，5）为焦点以原点为中心，x轴和y轴为对称轴的椭圆．进一步根据a、b、c的关系求出椭圆的方程．

解答 解：已知△ABC的周长是22，且A（5，0），B（-5，0），
则|AB|=10，|AC|+|BC|=12＞|AB|=10
所以△ABC的顶点C的轨迹是以A（5，0），B（-5，0）为焦点，
以原点为中心，以x轴和y轴为对称轴的椭圆．
椭圆方程设为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）
令|AC|+|BC|=12=2a
解得：a=6，
令|AB|=10=2c
解得：c=5
进一步解得：b²=a²-c²=36-25=11
求得△ABC的顶点C的轨迹方程为：$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{11}=1（{y≠0}）$．
故选：C．

点评 本题考查的知识要点：椭圆的定义，椭圆的方程及相关的运算问题．