Question

20．设θ在第二象限，且sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{3}{2}$π）＞$\frac{1}{2}$，则$\frac{\sqrt{1-sinθ}}{cos\frac{θ}{2}-sin\frac{θ}{2}}$的值为（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． 1或-1
• D． 不能确定

Answer 1

分析 由θ的象限可得$\frac{θ}{2}$在第一或三象限，再由题意可得cos$\frac{θ}{2}$为负值可得$\frac{θ}{2}$在第三象限，可得sin$\frac{θ}{2}$＞-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，但不能确定cos$\frac{θ}{2}$和sin$\frac{θ}{2}$的大小，去绝对值可得．

解答 解：∵θ在第二象限，即2kπ＜θ＜2kπ+π，k∈Z，
∴kπ＜$\frac{θ}{2}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即$\frac{θ}{2}$在第一或三象限，
又∵sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{3}{2}$π）＞$\frac{1}{2}$，
∴由诱导公式可得-cos$\frac{θ}{2}$=sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{3}{2}$π）＞$\frac{1}{2}$，
∴cos$\frac{θ}{2}$＜-$\frac{1}{2}$，∴$\frac{θ}{2}$在第三象限，
∴sin$\frac{θ}{2}$=-$\sqrt{1-co{s}^{2}\frac{θ}{2}}$＞-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{1-sinθ}}{cos\frac{θ}{2}-sin\frac{θ}{2}}$=$\frac{\sqrt{（cos\frac{θ}{2}-sin\frac{θ}{2}）^{2}}}{cos\frac{θ}{2}-sin\frac{θ}{2}}$=$\frac{|cos\frac{θ}{2}-sin\frac{θ}{2}|}{cos\frac{θ}{2}-sin\frac{θ}{2}}$=±1
故选：C

点评 本题考查三角函数化简求值，涉及同角三角函数基本关系和分类讨论，属中档题．