Question

10．若以原点O为圆心的圆同时经过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点A₁及右顶点A₂，且被过焦点F（c，0）的直线l：x=c分成弧长为2：1的两端圆弧，则该椭圆的离心率e等于$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据直线分圆的弧长关系求出∠DOC=120°，结合三角函数的定义求出D点的横坐标，建立a，c的关系进行求解即可．

解答 解：作出对应的图象如图，∵圆被过焦点F（c，0）的直线l：x=c分成弧长为2：1的两端圆弧，
∴∠DOC=120°，即∠DOA=60°，
∵OD=a，∴x_D=acos60°=$\frac{a}{2}$=c，
即$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
故椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件建立a，c的关系是解决本题的关键．