Question

10．设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，命题q：实数x满足|x-3|＜1．
（1）若a=1，且p∧q为假，求实数x的取值范围；
（2）若a＞0，且，￢q是￢p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=1，对于命题p：实数x满足x²-4x+3＜0，解得x范围为集合A．命题q：实数x满足|x-3|＜1，解得x范围为集合B．若p∧q为真，求出A∩B，而p∧q为假，求出A∩B的补角即可得出．
（2）a＞0，对于命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，解得x范围；由￢q是￢p的必要不充分条件，可得q是p的充分不必要条件，即可得出．

解答 解：（1）a=1，对于命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，即x²-4x+3＜0，解得（x-1）（x-3）＜0，解得1＜x＜3．
命题q：实数x满足|x-3|＜1，解得2＜x＜4．
若p∧q为真，则$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x＜4}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3，
而p∧q为假，∴实数x的取值范围是x≤2或x≥3．
（2）a＞0，对于命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，解得a＜x＜3a；
∵￢q是￢p的必要不充分条件，∴q是p的充分不必要条件，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{4≤3a}\end{array}\right.$，解得$\frac{4}{3}≤a≤2$．
∴实数a的取值范围是$[\frac{4}{3}，2]$．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．