Question

已知数列{a_n}的首项为a（a＞0），且满足a_n+1=a_n²+a₁（n∈N^*），若数列{a_n}满足：对于任意正整数n≥2，都有0＜a_n≤2，则称实数a为数列{a_n}的伴侣数，记A事所有伴侣数构成的集合．
（1）若a∈（1，+∞），求证：a∉A；
（2）若a∈（0，

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），求证：a∈A．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：点列、递归数列与数学归纳法,推理和证明

分析：本题（1）可以推导出a₂＞2，利用反证法证明0＜a_n≤2对于任意正整数n≥2不能恒成立，得到实数a不是为数列{a_n}的伴侣数，得到本题结论．（2）当a∈（0，

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）时，猜想：0＜a_n＜

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，n∈N^*．结合递推公式，用数学归纳法证明结论成立，得到当a∈（0，

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）时，a是为数列{a_n}的伴侣数，即a∈A，得到本题结论．

解答： 证明：（1）当a∈（1，+∞）时，
∵数列{a_n}的首项为a，a_n+1=a_n²+a₁（n∈N^*），
∴a2=a12+a1＞1+1=2，
∵若数列{a_n}满足：对于任意正整数n≥2，都有0＜a_n≤2，则称实数a为数列{a_n}的伴侣数，记A事所有伴侣数构成的集合．
又a₂＞2，
∴实数a不是为数列{a_n}的伴侣数，
∴a∉A．
（2）当a∈（0，

1

4

）时，猜想：0＜a_n＜

1

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，n∈N^*．
下面用数学归纲法证明．
（i）当n=1时，
∵a₁=a∈(0，

1

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)，∴0＜a₁＜

1

2

，
∴当n=1时，猜想成立；
（ii）假设n=k，k≥2时，有0＜a_k＜

1

2

，
则：ak+1=ak2+a＞0，
ak+1=ak2+a＜(

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2

)2+

1

4

=

1

2

，
∴0＜a_k+1＜

1

2

．
即n=k+1时，猜想也成立．
由（i）（ii）知：当a∈（0，

1

4

）时，猜想：0＜a_n＜

1

2

，n∈N^*成立．
∵数列{a_n}满足：对于任意正整数n≥2，都有0＜a_n≤2，则称实数a为数列{a_n}的伴侣数，记A事所有伴侣数构成的集合，
∴当a∈（0，

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）时，实数a为数列{a_n}的伴侣数，
即a∈A．

点评：本题考查了举反例证明、数学归纳法证明，还考查了新定义问题，本题有一定的难度，证明方法多样，思维质量高，属于难题．