Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且椭圆C上的点到椭圆右焦点F的最小距离为$\sqrt{2}$-1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OA，OM，OB的斜率为k_OA，k_OM，k_OB，若k_OA，-k_OM，k_OB成等差数列，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆C的方程可求；
（2）由（1）知，F（1，0），设AB：y=k（x-1）（k≠0）．联立直线方程与椭圆方程，由一元二次方程的根与系数的关系结合k_OA，-k_OM，k_OB成等差数列求得直线的斜率，则直线方程可求．

解答 解：（1）由题意可知，$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{a-c=\sqrt{2}-1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a²=2，b²=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）知，F（1，0），设AB：y=k（x-1）（k≠0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）．
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．
∵k_OA，-k_OM，k_OB成等差数列，
∴k_OA+k_OB+2k_OM=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}+2\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}=\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}+\frac{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$
=$\frac{k（{x}_{1}-1）{x}_{2}+k（{x}_{2}-1）{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}+\frac{2k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-k（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}+\frac{2k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}+{x}_{2}}$
=4k$-\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}-\frac{4k}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$4k-\frac{k•\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}{\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}-\frac{4k}{\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{1-3{k}^{2}}{k（{k}^{2}-1）}=0$．
即k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线l的方程为y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}（x-1）$．

点评 本题考查了椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了等差数列性质的应用，考查计算能力，是中档题．