Question

16．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，且椭圆上的点到焦点的距离最小值为1，若F为左焦点，A为左顶点，过F的直线交椭圆于M，N直线AM，AN交直线x=t（t＜-2）于B，C两点．
（1）求椭圆方程；
（2）若以BC为直径的圆过F，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）由（1）求得F坐标，设出直线MN的方程，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系结合以BC为直径的圆过F列式求得t值．

解答 解：（1）由题意，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{a-c=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）如图，由（1）知，F（-1，0），
设MN所在直线方程为x=ty-1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x=ty-1}\end{array}\right.$，得（3t²+4）y²-6ty-9=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{6t}{3{t}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{t}^{2}+4}$．
x₁+x₂=t（y₁+y₂）-2=$\frac{6{t}^{2}}{3{t}^{2}+4}-2=\frac{-8}{3{t}^{2}+4}$，
${x}_{1}{x}_{2}=（t{y}_{1}-1）（t{y}_{2}-1）={t}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-t（{y}_{1}+{y}_{2}）+1$
=$-\frac{9{t}^{2}}{3{t}^{2}+4}-\frac{6{t}^{2}}{3{t}^{2}+4}+1=\frac{-12{t}^{2}}{3{t}^{2}+4}$+$\frac{4}{3{t}^{2}+4}$．
AM：$\frac{y}{{y}_{1}}=\frac{x+2}{{x}_{1}+2}$，取x=t，得B（t，$\frac{t+2}{{x}_{1}+2}{y}_{1}$），
AN：$\frac{y}{{y}_{2}}=\frac{x+2}{{x}_{2}+2}$，取x=t，得C（t，$\frac{t+2}{{x}_{2}+2}{y}_{2}$）．
由题意可知，$\overrightarrow{BF}=（-1-t，-\frac{t+2}{{x}_{1}+2}{y}_{1}）$，$\overrightarrow{CF}=（-1-t，-\frac{t+2}{{x}_{2}+2}{y}_{2}）$，
由$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CF}$=$（1+t）^{2}+\frac{（t+2）^{2}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}{y}_{1}{y}_{2}$=$（1+t）^{2}+\frac{（t+2）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}{y}_{1}{y}_{2}$
=$（1+t）^{2}+\frac{（t+2）^{2}}{\frac{-12{t}^{2}+4}{3{t}^{2}+4}-\frac{16}{3{t}^{2}+4}+4}•（\frac{-9}{3{t}^{2}+4}）$=$\frac{-5{t}^{2}-28t-32}{4}=0$，
解得：t=-$\frac{8}{5}$（舍）或t=-4．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．