Question

9．已知函数$f（x）=\frac{x（1+lnx）}{x-1}$，若f（x）＞k（k∈Z）对任意x＞1恒成立，则整数k的最大值为3．

Answer 1

分析 求出函数的导数，根据函数的单调性得到lnx₀=x₀-2，求出f（x）的最小值，从而求出k的范围即可．

解答 解：∵$f（x）=\frac{x（1+lnx）}{x-1}$，
∴f′（x）=$\frac{x-2-lnx}{{（x-1）}^{2}}$，
令h（x）=x-2-lnx，x＞1．
因为h′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＞0，
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
又h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4=2-2ln2＞0，
所以h（x）在（1，+∞）上存在唯一的一个实数根x₀，
满足x₀∈（3，4），且h（x₀）=0，
即x₀-2-lnx₀=0，所以lnx₀=x₀-2，
当x∈（1，x₀）时，h（x）＜0，此时g′（x）＜0，
当x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞0，此时g′（x）＞0，
所以f′（x）在x∈（1，x₀）时，单调递减，在x∈（x₀，+∞）上单调递增，
∴f（x）_min=f（x₀）=$\frac{{x}_{0}{（x}_{0}-1）}{{x}_{0}-1}$=x₀∈（3，4）．
所以要使f（x）＞k对任意x＞1恒成立，
则k＜f（x）_min?=x₀∈（3，4），
因为k∈Z，所以要k≤3，即k的最大值为3，
故答案为：3．

点评 本题主要考查了函数的极值和导数之间的关系，以及根的存在性定理的应用，综合性较强，运算量较大．