Question

设数列{a_n}是首项为4，公差为1的等差数列；S_n为数列{b_n}的前n项和，且S_n=n²+2n．
（1）求{a_n}及{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（2）f（n）=

an，n为正奇数 bn，n为正偶数

问是否存在k∈N⁺使f（k+27）=4f（k）成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（3）若对任意的正整数n，不等式 

a

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )(1+ 1 bn )

-

1

n-1+an+1

≤0恒成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等差数列的通项公式能求出a_n=4+n-1=n+3，由bn=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出b_n=2n+1．（2）假设符合条件的k（k∈N*）存在，由于f（n）=

n+3，n为正奇数 2n+1，n为正偶数

，当k为正奇数时，k+27为正偶数，
当k为正偶数时，k+27为正奇数，由此推导出符合条件的正整数k不存在．
（3）将不等式变形并把a_n+1=n+4，设g（n）=

1

2n+3

（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）（1+

1

b3

）…（1+

1

bn

），由此能求出正数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是首项为4，公差为1的等差数列，
∴a_n=4+n-1=n+3，
∵S_n为数列{b_n}的前n项和，且S_n=n²+2n，
∴当n=1时，b₁=S₁=3，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1，
当n=1时，上式成立，
∴b_n=2n+1，n∈N^*．
（2）假设符合条件的k（k∈N*）存在，
由于f（n）=

n+3，n为正奇数 2n+1，n为正偶数

，
∴当k为正奇数时，k+27为正偶数，
由f（k+27）=4f（k），得2（k+27）+1=4（k+3），
∴2k=43，k=

43

2

（舍）
当k为正偶数时，k+27为正奇数，
由f（k+27）=4f（k），得（k+27）+3=4（2k+1），
即7k=26，k=

26

7

（舍）
因此，符合条件的正整数k不存在．
（3）将不等式变形并把a_n+1=n+4，
代入得a≤

1

2n+3

（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）（1+

1

b3

）…（1+

1

bn

），
设g（n）=

1

2n+3

（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）（1+

1

b3

）…（1+

1

bn

），
∴

g(n+1)

g(n)

=

2n+3

2n+5

(1+

1

bn+1

)
=

2n+3

2n+5

×

2n+4

2n+3

=

2n+4

2n+5 • 2n+3

，
又∵

(2n+5)(2n+3)

＜

(2n+5)+(2n+3)

2

=2n+4，
∴

g(n+1)

g(n)

＞1，即g（n+1）＞g（n），
∴g（n）随n的增大而增大，∴g（n）_min=g（1）=

1

5

(1+

1

3

)=

4 5

15

，
∴0＜a≤

4 5

15

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．