Question

某旅游景点2012年的利润为100万元，因市场竞争，若不开发新项目，预测从2013年起每年利润比上一年减少4万元，2013年初，该景点一次性投入90万元开发新项目，预测在未扣除开发所投入资金的情况下，第n年（n为正整数，2013年为第1年）的利润为100（1+

1

3n

）万元．
（1）设从2013年起的前n年，该景点不开发新项目的累计利润为A_n万元，开发新项目的累计利润为B_n万元（须扣除开发所投入的资金），求A_n，B_n的表达式；
（2）依上述预测，该景点从第几年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）分别列出该景点不开发新项目与开发新项目的每年利润，从而求利润总和即可；
（2）解B_n-A_n=100n-

50

3n

-40-（100n-2n（n+1））=2n（n+1）-

50

3n

-40＞0即可．

解答： 解：（1）该景点不开发新项目，从2013年起的前n年，
当n=1时，当年的利润为100-4万元，
当n=2时，当年的利润为100-8万元，
当n=3时，当年的利润为100-12万元，
…
故前n年的总利润A_n=100-4+100-8+…+100-4n=100n-2n（n+1）；
开发新项目，从2013年起的前n年，
当n=1时，当年的利润为100（1+

1

3

）万元，
当n=2时，当年的利润为100（1+

1

9

）万元，
当n=3时，当年的利润为100（1+

1

27

）万元，
…
故前n年的总利润B_n=100（1+

1

3

）+100（1+

1

9

）+100（1+

1

27

）+…+100（1+

1

3n

）-90=100n-

50

3n

-40；
故A_n=100n-2n（n+1）；
B_n=100n-

50

3n

-40；
（2）令B_n-A_n=100n-

50

3n

-40-（100n-2n（n+1））
=2n（n+1）-

50

3n

-40＞0，
n=4时，B_n-A_n＜0，当n=5时，B_n-A_n＞0；
故该景点从第5年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润．

点评：本题考查了函数在实际问题中的应用及数列在实际问题中的应用，属于中档题．