Question

1．如图，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，左准线l₁：x=-$\frac{a^2}{c}$和右准线l₂：x=$\frac{a^2}{c}$分别与x轴相交于A、B两点，且F₁、F₂恰好为线段AB的三等分点．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）过点D（-$\sqrt{3}$，0）作直线l与椭圆相交于P、Q两点，且满足$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{DQ}$，当△OPQ的面积最大时（O为坐标原点），求椭圆C的标准方程．

Answer 1

分析 （1）通过焦点F₂（c，0），右准线l₂：$x=\frac{a^2}{c}$，得到a，c关系，然后求解离心率．
（2）由（1）知$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求出b²=2c²，设椭圆方程为2x²+3y²=6c²．设直线l的方程为$x=my-\sqrt{3}$，联立方程组，利用判别式以及韦达定理，求解三角形的面积，利用基本不等式求解面积的最大值，然后求解椭圆方程．

解答 解：（1）焦点F₂（c，0），右准线l₂：$x=\frac{a^2}{c}$，由题知|AB|=3|F₁F₂|，
即$2\frac{a^2}{c}=3•2c$，即a²=3c²，解得$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（2）由（1）知$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，得a²=3c²，b²=2c²，可设椭圆方程为2x²+3y²=6c²．
设直线l的方程为$x=my-\sqrt{3}$，代入椭圆的方程有，$（2{m^2}+3）{y^2}-4\sqrt{3}y+6-6{c^2}=0$，
因为直线与椭圆相交，所以△=48m²-4（2m²+3）（6-6c²）＞0，
由韦达定理得${y_1}+{y_2}=\frac{{4\sqrt{3}m}}{{2{m^2}+3}}$，${y_1}{y_2}=\frac{{6-6{c^2}}}{{2{m^2}+3}}$，又$\overrightarrow{DP}=2\overrightarrow{QD}$，所以y₁=-2y₂，
得到${y_1}=\frac{{8\sqrt{3}m}}{{2{m^2}+3}}$，${y_2}=\frac{{-4\sqrt{3}m}}{{2{m^2}+3}}$，${y_1}{y_2}=\frac{{6-6{c^2}}}{{2{m^2}+3}}=\frac{{-96{m^2}}}{{{{（2{m^2}+3）}^2}}}$，得到$1-{c^2}=-\frac{{16{m^2}}}{{2{m^2}+3}}$，
所以${S_{△DPQ}}=\frac{1}{2}|OD|•|{y_1}-{y_2}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}•|\frac{{12\sqrt{3}m}}{{2{m^2}+3}}|=18•\frac{|m|}{{2|m{|^2}+3}}=18•\frac{1}{{2|m|+\frac{3}{|m|}}}≤\frac{{3\sqrt{6}}}{2}$，
当且仅当${m^2}=\frac{3}{2}$时，等号成立，此时c²=5，代入△满足△＞0，
所以所求椭圆方程为$\frac{x^2}{15}+\frac{y^2}{10}=1$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．