Question

20．命题p：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（4a-3）x+3a，x＜0}\\{lo{g}_{a}（x+1）+1，x≥0}\end{array}$（a＞0，且a≠1）在R上为单调递减函数，命题q：?x∈[0，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$]，x²-a≤0恒成立．
（1）求命题q真时a的取值范围；
（2）若命题p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若命题q为真命题，则a≥x²，x∈[0，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$]，恒成立，即a≥x²_max；
（2）若命题p∧q为假，p∨q为真，命题p，q一真一假，进而可得满足条件的a的取值范围．

解答 解：（1）若命题q为真命题，
则a≥x²，x∈[0，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$]，恒成立，
即a≥x²_max，即$a≥\frac{1}{2}$；
（2）若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（4a-3）x+3a，x＜0}\\{lo{g}_{a}（x+1）+1，x≥0}\end{array}$（a＞0，
且a≠1）在R上为单调递减函数，
则$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\ 4a-3≤0\\ 3a≥1\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{3}{4}$；
若命题p∧q为假，p∨q为真，
则命题p，q一真一假，
当p真q假时，a＜$\frac{1}{2}$且$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{3}{4}$，解得：$\frac{1}{3}≤a＜\frac{1}{2}$；
当p假q真时，a≤0，或a≥1，且$a≥\frac{1}{2}$，解得：$a＞\frac{3}{4}$；
综上可得：$\frac{1}{3}≤a＜\frac{1}{2}$或$a＞\frac{3}{4}$．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，分段函数，函数恒成立等知识点，难度中档．