Question

8．已知[x]表示实数x的整数部分，即[x]表示不超过实数x的最大整数，如[-2，1]=-3，[π]=3，[2]=2．函数y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数．
（1）当-2≤x＜-1时，函数y=[x]的值是2．
（2）当-2≤x＜2时，用分段函数表示y=[x]=$\left\{\begin{array}{l}{-2，}&{-2≤x＜-1}\\{-1，}&{-1≤x＜0}\\{0，}&{0≤x＜1}\\{1，}&{1≤x＜2}\end{array}\right.$．
（3）画出函数y=[x]（x∈R）的图象．
（4）画出函数y=x-[x]（x∈R）的图象．

Answer 1

分析 （1）根据定义得y=[x]=-2，
（2）根据定义利用分段函数进行表示，
（3）根据定义利用分段函数进行表示即可，
（4）根据定义利用分段函数进行表示即可．

解答 解：（1）当-2≤x＜-1时，函数y=[x]=-2．
（2）当-2≤x＜2时，
若-2≤x＜-1时，y=[x]=-2，
若-1≤x＜0时，y=[x]=-1，
若0≤x＜1时，y=[x]=0，
若1≤x＜2时，y=[x]=1，
用分段函数表示y=[x]=$\left\{\begin{array}{l}{-2，}&{-2≤x＜-1}\\{-1，}&{-1≤x＜0}\\{0，}&{0≤x＜1}\\{1，}&{1≤x＜2}\end{array}\right.$．
（3）由题意得当n≤x＜n+1时，y=[x]=n，
则对应的图象为：

（4）当n≤x＜n+1时，y=x-[x]=x-n，
则y=x-[x]=$\left\{\begin{array}{l}{…}&{…}\\{x-2，}&{-2≤x≤-1}\\{x-1，}&{-1≤x＜0}\\{x，}&{0≤x＜1}\\{x+1，}&{1≤x＜2}\\{…}&{…}\\{\;}&{\;}\end{array}\right.$，则对应的图象为：

故答案为：（1）2，（2）$\left\{\begin{array}{l}{-2，}&{-2≤x＜-1}\\{-1，}&{-1≤x＜0}\\{0，}&{0≤x＜1}\\{1，}&{1≤x＜2}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查函数的图象的应用，结合函数的新定义表示成分段函数形式是解决本题的关键．