Question

1．已知函数f（x）=e^x-kx，x∈R，k∈R．
（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）设函数g（x）=f（x）+f（-x），求证：g（1）g（2）…g（2n）＞（e²ⁿ⁺¹+2）ⁿ（n∈N⁺）．

Answer 1

分析 （1）当k=e时，f（x）=e^x-ex，f'（x）=e^x-e；直接利用导数判断函数的单调性即可；
（2）由f（|-x|）=f（|x|）可知：f（|x|）是偶函数．f（|x|）＞0对任意x∈R恒成立等价于f（x）＞0对任意x≥0恒成立；
（3）g（x）=f（x）+f（-x）=e^x+e^-x，g（x₁）g（x₂）=${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+${e}^{-（{x}_{1}+{x}_{2}）}$+${e}^{{x}_{1}-{x}_{2}}$+${e}^{-{x}_{1}+{x}_{2}}$＞${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+2；

解答 解：（1）当k=e时，f（x）=e^x-ex，f'（x）=e^x-e．
令f'（x）=0，得x=1；
当x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．
因此，f（x）的单调递减区间是（-∞，1），单调递增区间（1，+∞）．
（2）由f（|-x|）=f（|x|）可知：f（|x|）是偶函数．于是，f（|x|）＞0对任意x∈R恒成立等价于f（x）＞0对任意x≥0恒成立；由f'（x）=e^x-k=0，得x=lnk．
①当k∈（0，1]时，f'（x）=e^x-k＞1-k≥0（x＞0），此时，f（x）在区间[0，+∞）上单调递增．
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．
②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值k-lnk	↗

由上表可知：在区间[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-lnk．
依题意，得k-klnk＞0．
又k＞1∴1＜k＜e
综上：实数k的取值范围是（0，e）．
（3）g（x）=f（x）+f（-x）=e^x+e^-x，
∴当x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂时，
g（x₁）g（x₂）=${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+${e}^{-（{x}_{1}+{x}_{2}）}$+${e}^{{x}_{1}-{x}_{2}}$+${e}^{-{x}_{1}+{x}_{2}}$＞${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+2，
即  g（x₁）g（x₂）＞${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+2，
∴g（1）g（2n）＞e²ⁿ⁺¹+2，g（2）g（2n-1）＞e²ⁿ⁺¹+2，…，g（2n）g（1）＞e²ⁿ⁺¹+2；
∴[g（1）g（2）…g（2n）]²=[g（1）g（2n）][g（2）g（2n-1）]…[g（2n）g（1）]＞（e²ⁿ⁺¹+2）²ⁿ；
故g（1）g（2）…g（2n）＞（e²ⁿ⁺¹+2）ⁿ，n∈N^*．

点评 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，函数基本性质以及数值运算，属中等题；