Question

13．求证函数y=ln$\frac{1}{1+x}$满足关系式x$\frac{dy}{dx}$+1=e^y．

Answer 1

分析 利用导数的运算法则即可证明．

解答 证明：∵y=ln$\frac{1}{1+x}$，∴$\frac{dy}{dx}$=y′=$\frac{（\frac{1}{1+x}）^{′}}{\frac{1}{1+x}}$=-$\frac{1}{1+x}$，e^y=$\frac{1}{1+x}$．
∴x$\frac{dy}{dx}$+1=1-$\frac{x}{1+x}$=$\frac{1}{1+x}$=e^y．
∴函数y=ln$\frac{1}{1+x}$满足关系式x$\frac{dy}{dx}$+1=e^y．

点评 本题考查了利用导数的运算法则证明等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．