题目内容
已知数列{an}的前n项和为Sn，向量
=（Sn，p2-a），
=（1，p-1）（n∈N*），满足
∥
．（其中p为正常数，且p≠1）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若p=
，数列{bn}对任意n∈N*，都有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bna1=（n2-n+1）•(
)n+1成立，问数列{bn}中是否存在最大项？若存在，最大项是第几项；若不存在，说明理由．
| AB |
| CD |
| AB |
| CD |
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若p=
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
考点：数列的求和
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）首先利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件，建立等量关系，进一步利用递推关系式求出数列的通项公式．
（2）利用关系式，使用乘公比错位相减法求出数列的通项公式，进一步讨论数列的增减性，最后确定是否存在最大项．
（2）利用关系式，使用乘公比错位相减法求出数列的通项公式，进一步讨论数列的增减性，最后确定是否存在最大项．
解答：
解：（1）已知：已知数列{an}的前n项和为Sn，向量
=（Sn，p2-an），
=（1，p-1）（n∈N*），满足
∥
．（其中p为正常数，且p≠1）
则：(p-1)Sn=p2-an①
所以：(p-1)Sn+1=p2-an+1②
②-①整理得：
=
所以：数列为等比数列
当n=1时，求得：a1=p
所以：an=p(
)n-1=(
)n-2
（2）若p=
，数列{bn}对任意n≥2，都有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bna1=（n2-n+1）•(
)n+1①成立，
则：b1an-1+b2an-2+…+bn-1a1=[(n-1)2-(n-1)+1](
)n②
②×
得：b1an+b2an-1+…+bn-1a2=[(n-1)2-(n-1)+1](
)n+1③
所以①-③得：bna1=(2n-2)(
)n+1
bn=(2n-2)(
)n
当n=1时，a1b1=(
)2
由于：a1=p=
所以：b1=
所以：bn=
根据通项公式：数列{bn}为递增数列，所以不存在最大项．
| AB |
| CD |
| AB |
| CD |
则：(p-1)Sn=p2-an①
所以：(p-1)Sn+1=p2-an+1②
②-①整理得：
| an+1 |
| an |
| 1 |
| p |
所以：数列为等比数列
当n=1时，求得：a1=p
所以：an=p(
| 1 |
| p |
| 1 |
| p |
（2）若p=
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
则：b1an-1+b2an-2+…+bn-1a1=[(n-1)2-(n-1)+1](
| 8 |
| 7 |
②×
| 7 |
| 8 |
| 8 |
| 7 |
所以①-③得：bna1=(2n-2)(
| 8 |
| 7 |
bn=(2n-2)(
| 8 |
| 7 |
当n=1时，a1b1=(
| 8 |
| 7 |
由于：a1=p=
| 8 |
| 7 |
所以：b1=
| 8 |
| 7 |
所以：bn=
|
根据通项公式：数列{bn}为递增数列，所以不存在最大项．
点评：本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量共线的充要条件，利用递推关系式求数列的通项公式，错位相减法的应用．属于中等题型．
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