Question

18．直线y=x+b与曲线x=-$\sqrt{1-y^2}$有且只有一个交点，则b的取值范围是（　　）

• A． |b|=$\sqrt{2}$
• B． -1≤b＜1，或b=$\sqrt{2}$
• C． -1≤b≤1
• D． 非A，B，C结论

Answer 1

分析 把曲线方程整理后可知其图象为半圆，要使直线与曲线有且仅有一个交点，考虑三个极端情况，利用直线与圆的位置关系进行判断．

解答 解：由x=-$\sqrt{1-y^2}$，化简得x²+y²=1，注意到x≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在二、三象限．
考虑三个极端情况：
①直线在第二象限与曲线相切，②交曲线于（0，-1）和另一个点，③与曲线交于点（0，1）．
直线在第二象限与曲线相切时解得b=$\sqrt{2}$，当直线y=x+b经过点（0，1）时，b=1．
当直线y=x+b经过点（0，-1）时，b=-1，所以此时-1≤b＜1．
综上满足只有一个公共点的实数b 的取值范围是：-1≤b＜1或b=$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了直线与圆相交的性质．对于此类问题除了用联立方程转化为方程的根的问题之外，也可用数形结合的方法较为直观．