Question

3．已知点Q是圆M：（x+1）²+y²=64（圆心为M）上的动点，点N（1，0），线段QN的中垂线交MQ于点P
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）已知点B（2，2），S是轨迹E上一动点，求|SN|+|SB|的最大值；
（3）在轨迹E上是否存在点T，使$\frac{1}{|TM|}$，$\frac{1}{|MN|}$，$\frac{1}{|TN|}$成等差数列？若存在，求出|TM|与|TN|的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由线段垂直平分线性质得出|PQ|=|PN|；再分析出|PM|+|PN|为定值，则知点P的轨迹为椭，最后根据椭圆的标准方程写出答案
（2）由椭圆定义|SM|+|SN|=8，于是|SN|+|SB|=8+|SB|-|SM|．
（3）利用焦半径公式，结合等差数列的性质，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，可知M（-1，0），|MQ|=8，
因为点P在线段NQ的垂直平分线上，所以|PQ|=|PN|
又|PM|+|PQ|=|MQ|=8，所以|PM|+|PN|=8（8＞2），
那么点P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其中a=4，c=1，
则b²=a²-c²=15，
所以点P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{15}$=1；
（2）由椭圆定义|SM|+|SN|=8，
于是|SN|+|SB|=8+|SB|-|SM|．
当M不在直线MB与椭圆交点上时，M、S、B三点构成三角形，于是|SB|-|SM|＜|BF|，
而当M在直线MB与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有|SB|-|SM|=-|BM|，
在第三象限交点时有|SB|-|SM|=|BM|．
显然当M在直线MB与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为
|SN|+|SB|=8+|SB|-|SM|=8+|BM|=8+$\sqrt{（2+1）^{2}+{2}^{2}}$=8+$\sqrt{13}$．
（3）假设存在点T满足题设．
由$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{15}$=1，可知|TM|+|TN|=8，|MNA|=2，
结合$\frac{2}{|MN|}$=$\frac{1}{|TM|}$+$\frac{1}{|TN|}$．
得|TM|•|TN|=8
由$\left\{\begin{array}{l}{|TM|+|TN|=8}\\{|TM|•|TN|=8}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{|TM|=4+2\sqrt{2}}\\{|TN|=4-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{|TM|=4-2\sqrt{2}}\\{|TN|=4+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
由于3≤|TM|≤5且3≤|TN|≤5，而4-2$\sqrt{2}$＜3，4+2$\sqrt{2}$＞5．
故不存在这样的点T满足题设．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．