Question

10．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且满足$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=0$，则$\overrightarrow{AB}•\;\overrightarrow{OA}$=（　　）

• A． $-\frac{15}{4}$
• B． $-\frac{7}{4}$
• C． $\frac{7}{4}$
• D． $\frac{15}{4}$

Answer 1

分析 先将一个向量用其余两个向量表示出来，然后借助于平方使其出现向量模的平方，则才好用上外接圆半径，然后进一步分析结论，容易化简出要求的结果．

解答 解：$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=0$，
∴$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$=-4$\overrightarrow{OC}$，
∴（$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$）²=（-4$\overrightarrow{OC}$）²，
∴|$\overrightarrow{OA}$|²+4|$\overrightarrow{OB}$|²+4$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=16|$\overrightarrow{OC}$|²，
∵△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，
∴|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，
∴1+4+4$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=16，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{11}{4}$
∴$\overrightarrow{AB}•\;\overrightarrow{OA}$=（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$-|$\overrightarrow{OA}$|²=$\frac{11}{4}$-1=$\frac{7}{4}$，
故选：C

点评 本题考查了平面向量在几何问题中的应用．要利用向量的运算结合基底意识，将结论进行化归，从而将问题转化为基底间的数量积及其它运算问题．