Question

设函数f（x）=|x-1|+

1

2

|x-3|
（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤a（x+

1

2

）的解集非空，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（ I）去绝对值可得f（x）=

- 3 2 x+ 5 2 ，x≤1 1 2 x+ 1 2 ，1＜x≤3 3 2 x- 5 2 ，x＞3

，可得原不等式f（x）＞2等价于

- 3 2 x+ 5 2 ＞2 x≤1

或

1 2 x+ 1 2 ＞2 1＜x≤3

或  

3 2 x- 5 2 ＞2 x＞3

，解不等式组可得；
（ II）作出f（x）图象，结合图象可得a的取值．

解答： 解：（ I）去绝对值可得f（x）=|x-1|+

1

2

|x-3|=

- 3 2 x+ 5 2 ，x≤1 1 2 x+ 1 2 ，1＜x≤3 3 2 x- 5 2 ，x＞3

，
∴原不等式f（x）＞2等价于

- 3 2 x+ 5 2 ＞2 x≤1

或

1 2 x+ 1 2 ＞2 1＜x≤3

或  

3 2 x- 5 2 ＞2 x＞3

解以上不等式组取并集可得原不等式解集为(-∞，

1

3

)∪(3，+∞)；
（ II）f（x）图象如图所示，其中A（1，1），B（3，2），
f(x)=|x-1|+

1

2

|x-3|=

5 2 - 3 2 x，x≤1 1 2 x+ 1 2 ，1＜x＜3 3 2 x- 5 2 ，x≥3

，直线y=a(x+

1

2

)绕点(-

1

2

，0)旋转，
由图可得不等式f（x）≤a(x+

1

2

)的解集非空时，a的范围为(-∞，-

3

2

)∪[

4

7

，+∞)

点评：本题考查绝对值不等式的解法及应用，数形结合是解决问题的关键，属中档题．