Question

已知椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（

3

，

3

），且离心率为

6

3

．斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：本题（Ⅰ）由曲线过定点和已知的离心率，得到参数a、b、c的关系式，解方程组求出的a、b、c值，得到椭圆的方程；（Ⅱ）用待定系数法设出直线的方程，通过直线的方程和椭圆的方程联列方程组，得到一元二次方程，根据韦达定理得到弦中点的坐标，由于等腰三角形的底边上的中线垂直于底边，可求出参数的值，利用点线距离公式和三角形面积公式，求出本题答案．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得

3

a2

+

3

b2

=1，

c

a

=

6

3

．
解得a=2

3

．又b²=a²-c²=4，
∴椭圆G的方程为

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m．
由

y=x+m x2 12 + y2 4 =1

得4x²+6mx+3m²-12=0．…①
设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₁＜x₂）AB中点为E（x₀，y₀），
则x0=

x1+x2

2

=-

3m

4

，y0=x0+m=

m

4

．
∵AB是等腰△PAB的底边，
∴PE⊥AB．
∴PE的斜率k=

2- m 4

-3+ 3m 4

=-1，
解得m=2．
此时方程①为4x²+12x=0，
解得 x₁=-3，x₂=0，
∴y₁=-1，y₂=2，
∴|AB|=3

2

．
此时，点P（-3，2）到直线AB：x-y+2=0的距离为
d=

|-3-2+2|

2

=

3 2

2

，
∴△PAB的面积S=

1

2

|AB|d=

9

2

．

点评：本题考查了函数方程思想、韦达定理、点线距离公式等知识，计算量较大，属于中档题．