Question

18．函数f（x）=3sin（πx）-$\frac{1}{1-x}$，x∈[-3，5]的所有零点之和为8．

Answer 1

分析 设t=1-x，则x=1-t，原函数可化为g（t）=2sinπt-$\frac{1}{t}$，由于g（x）是奇函数，观察函数y=2sinπt与y=$\frac{1}{t}$的图象可知，在[-3，5]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，从而 x₁+x₂+…+x₇+x₈的值．

解答 解：设t=1-x，则x=1-t，原函数可化为：x∈[-3，5]，
g（t）=2sin（π-πt）-$\frac{1}{t}$=2sinπt-$\frac{1}{t}$，其中，t∈[-4，4]，
因g（-t）=-g（t），
故g（t） 是奇函数，观察函数 y=2sinπt（红色部分）
与曲线y=$\frac{1}{t}$ （蓝色部分）的图象可知，
在t∈[-3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，
其横坐标之和为0，即t₁+t₂+…+t₇+t₈=0，
从而x₁+x₂+…+x₇+x₈=8，
故答案为：8．

点评 本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．