Question

9．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上的学生有12人．
（1）试问此次参赛学生的总数约为多少人？
（2）若成绩在80分以上（含80分）为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？

Answer 1

分析 （1）设出参赛人数的分数，根据分数符合正态分布，根据成绩在90分以上的学生有12人，求出大于90分的学生的概率，列出比例式，得到参赛的总人数．
（2）求出P（X≥80），再乘以参赛学生的总数，即可得出结论．

解答 解：（1）设参赛学生的成绩为X，因为X～N（70，100），所以μ=70，σ=10
则P（X≥90）=P（X≤50）=$\frac{1}{2}$[1-P（50＜X＜90）]
=$\frac{1}{2}$[1-P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）]=$\frac{1}{2}$×（1-0.954 4）=0.022 8，
12÷0.022 8≈526（人）．
因此，此次参赛学生的总数约为526人．
（2）由P（X≥80）=P（X≤60）=$\frac{1}{2}$[1-P（60＜X＜80）]
=$\frac{1}{2}$[1-P（μ-σ＜X＜μ+σ）]=$\frac{1}{2}$×（1-0.682 6）
=0.158 7，得526×0.158 7≈83．
因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人．

点评 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查标准正态分布表的应用，考查学生的计算能力，是一个实际应用问题．