Question

4．已知函数f（x）=sin²ωx-$\sqrt{3}$cosωx•cos（ωx+$\frac{π}{2}$）-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的图象与x轴的交点中，相邻的两个交点之间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求ω的值；
（2）求函数y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）的最大值．

Answer 1

分析 （1）将函数运用二倍角公式和化一公式进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求ω的值；
（2）将函数运用诱导公式和化一公式进行化简，求出函数的最值．

解答 解：（1）f（x）=sin²ωx-$\sqrt{3}$cosωx•cos（ωx+$\frac{π}{2}$）-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1-cos2ωx}{2}+\sqrt{3}cosωxsinωx-\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx$
=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）$
∵f（x）的图象与x轴的交点中，相邻的两个交点之间的距离为$\frac{π}{2}$可得，
T=π=$\frac{2π}{2ω}$，故ω=1．
（2）由（1）得y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）
=$sin（2x-\frac{π}{6}）+sin[2（x+\frac{π}{4}）-\frac{π}{6}]$
=$sin（2x-\frac{π}{6}）+sin（2x-\frac{π}{6}+\frac{π}{2}）$
=$sin（2x-\frac{π}{6}）+cos（2x-\frac{π}{6}）$
=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{12}）$
故函数y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）的最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．