题目内容
20．某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为m元（其中m为常数，且3≤m≤6）．设该工厂黑色水笔的出厂价为x元/百支（35≤x≤40），根据市场调查，日销售量与ex成反比例，当每百支水笔的出厂价为40元时，日销售量为10万支．（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．
（2）已知工厂日利润达到1000元才能保证工厂的盈利．若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费m最多为多少元？（精确到0.1元）
分析 （1）由条件“日销售量与ex（e为自然对数的底数）成反比例”可设日销量，根据日利润y=每件的利润×件数，建立函数关系式，注意实际问题自变量的范围．对函数进行求导，求出极值点，利用3≤m≤6，可得函数在35≤x≤40范围内的单调性，从而求出函数的最值；
（2）由题意35≤x≤40，$\frac{1000{e}^{40}}{{e}^{x}}$（x-30-m）≥1000恒成立，x=35时，e5（5-m）≥1，m≤5-e-5，即可得出结论．
解答 解：（1）设日销量为s，则s=$\frac{k}{{e}^{x}}$
∵x=40，s=1000，∴1000=$\frac{k}{{e}^{40}}$，∴k=1000e40，∴s=$\frac{1000{e}^{40}}{{e}^{x}}$
∴y=$\frac{1000{e}^{40}}{{e}^{x}}$（x-30-m）（35≤x≤40）；
y′=$\frac{1000{e}^{40}}{{e}^{x}}$（31+m-x），令y′=0，可得x=31+m
3≤m≤6，34≤31+m≤37
当35≤x≤m+31时，y′＞0
当m+31≤x≤40时，y′＜0
故x=31+m时，ymax=1000e9-m．
（2）由题意35≤x≤40，$\frac{1000{e}^{40}}{{e}^{x}}$（x-30-m）≥1000恒成立，
∴x=35时，e5（5-m）≥1，∴m≤5-e-5，
∴每百支水笔的加工费m最多为5.0元
点评 本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，解题的关键在于建立数学模型和目标函数，属于中档题．
练习册系列答案
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